数学记号集合$\mathbb{N}$ ：自然数集$\mathbb{Q}$ ：有理数集$\mathbb{R}$ ：实数集$\overline{\mathbb{R}}$ ：扩充实数集$\mathbb{C}$ ：复数集$B(x_0,r)$ ：以 $x_0$ 为球心， $r$ 为半径的开球$\mathscr{L}(\mathscr{X},\mathscr{Y})$ ：从赋范线性空间 $\mathscr{X

定义(r,s) 型切张量(r,s) 型切张量场(r,s) 型切张量空间(r,s) 型张量Abel 和Abel 群Banach 空间Borel 集Brouwer 度Cartesian 积Cauchy 列Cesàro 和De Rham 上同调De Rham 上同调群Dedekind 整环Dedekind 群Drazin 逆Euler 示性数Fenchel 变换Fourier 变换Fourier 逆变换

数学书单Allen Hatcher“Algebraic Topology” Loring W. Tu“An Introduction to Manifolds” Haim Brezis“Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations” Morris Kline“Mathematical Thought f

习题 An Introduction to Manifold - Loring W. Tu, Problem 14.13给定光滑流形 $M,N$给定光滑同胚映射 $F : M \to N$给定 $M$ 上的光滑函数 $g$ 和光滑切向量场 $X$证明 $$ \bbox[5pt]{ F_*(gX) = (g \circ F^{-1})F_*(X) } $$ Proof. $\forall f

习题 An Introduction to Manifold - Loring W. Tu, Problem 14.12给定 $\mathbb{R}^n$ 上的两个光滑切向量场 $X,Y$ 如下 $$ \bbox[5pt]{ X = \sum_{k=1}^{n}{a^k\frac{\partial}{\partial{x^k}}} \qquad Y = \sum_{k=1}^{n}{b^k\fr

习题 An Introduction to Manifold - Loring W. Tu, Problem 14.10给定光滑流形 $M$给定 $M$ 上的两个光滑切向量场 $X,Y$给定 $M$ 上的两个光滑函数 $f,g$验证 $$ \bbox[5pt]{ \mathtip{[fX,gY]}{Lie 括号: \langle{\mathfrak{X}(M),\mathfrak{X}(M)}\

引入给定 $n$ 维线性空间 $\mathscr{X} = (S,\mathbb{R})$ 及其标准正交基 $e_1,\cdots,e_n$定义 $\mathscr{X}$ 的对偶空间为 $$ \bbox[5pt]{ \mathscr{X}^* \triangleq \mathscr{L}(\mathscr{X},\mathbb{R}) } $$ 定义 $\mathscr{X}$ 的二次对偶空

纯粹地去重复叙述定义与定理是一种很枯燥的学习方式，因此在介绍现代微分流形理论的同时，我们将预先确定一条主线任务，即尝试从数学上构建我们所熟悉的球面，并研究其上的一些性质，从而加深对于理论的理解。 先从集合上定义二维单位球面 $$ \bbox[5pt]{ S^2 \triangleq \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \big| x^2+y^2+z^2=1\} } $$ 接下

引入给定 $n$ 维线性空间 $\mathscr{X} = (S,\mathbb{F})$ 及其标准正交基 $e_1,\cdots,e_n$定义二阶协变张量为 $\mathscr{X}$ 上的双线性函数 $f(\cdot,\cdot) : S \times S \to \mathbb{F}$定义 $n$ 阶矩阵为如下形式 $$ \bbox[5pt]{ A = \begin{pmatrix} a_

习题 An Introduction to Manifold - Loring W. Tu, Problem 8.7给定两个光滑流形 $M,N$给定 $\pi_1 : \mathtip{M}{视作集合} \times \mathtip{N}{视作集合} \to \mathtip{M}{视作集合}$ , $\pi_2 : \mathtip{M}{视作集合} \times \mathtip{N}{视作