博客内数学记号说明
数学记号
集合
$\mathbb{N}$ ：自然数集
$\mathbb{Q}$ ：有理数集
$\mathbb{R}$ ：实数集
$\overline{\mathbb{R}}$ ：扩充实数集
$\mathbb{C}$ ：复数集
$B(x_0,r)$ ：以 $x_0$ 为球心， $r$ 为半径的开球
$\mathscr{L}(\mathscr{X},\mathscr{Y})$ ：从赋范线性空间 $\mathscr{X}$ 到赋范线性空间 $\mathscr{Y}$ 的全体有界线性算子构成的线性空间
$\mathscr{L}(\mathscr{X},\mathbb{R})$ ：赋范线性空间 $\mathscr{X}$ 上的全体有界线性泛函构成的线性空间
$\mathscr{L}_{\mathbb{R}}(X,\mathcal{M},\mu)$ ：测度空间 $(X,\mathcal{M},\mu)$ 上的全体实值可测函数构成的线性空间
$L^p(\mathbb{R}^n)$ ： $\mathbb{R}^n$ 上的全体 $p$ 次可积函数构成的线性空间
$L^p_{loc}(\mathbb{R}^n)$ ： $\mathbb{R}^n$ 上的全体局部 $p$ 次可积函数构成的线性空间
$L^\infty(\mathbb{R}^n)$ ： $\mathbb{R}^n$ 上的全体本性有界函数构成的线性空间
$L^\infty_{loc}(\mathbb{R}^n)$ ： $\mathbb{R}^n$ 上的全体局部本性有界函数构成的线性空间
$C(\mathbb{R}^n)$ ： $\mathbb{R}^n$ 上的全体连续函数构成的线性空间
$C^k(\mathbb{R}^n)$ ： $\mathbb{R}^n$ 上的全体 $k$ 次连续可微函数构成的线性空间
$C^\infty(\mathbb{R}^n)$ ： $\mathbb{R}^n$ 上的全体光滑函数构成的线性空间
$C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$ ： $\mathbb{R}^n$ 上的全体紧支集光滑函数构成的线性空间
$\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ ： $\mathbb{R}^n$ 上的全体 Schwartz 函数构成的线性空间
$W^{m,p}(\mathbb{R}^n)$ ： $\mathbb{R}^n$ 上的全体指标为 $(m,p)$ 的 Sobolev 函数构成的线性空间
$W^{m,\infty}(\mathbb{R}^n)$ ： $\mathbb{R}^n$ 上的全体指标为 $(m,\infty)$ 的 Sobolev 函数构成的线性空间
$H^m(\mathbb{R}^n)$ ： $\mathbb{R}^n$ 上的全体指标为 $(m,2)$ 的 Sobolev 函数构成的线性空间
$\mathtip{H^k(\mathbb{R}^n)}{\mathbb{R}^n 的 k 阶 De Rham 上同调群}$ ： $\mathbb{R}^n$ 的 $k$ 阶 De Rham 上同调群
$M_{n \times m}(\mathbb{R})$ ： $\mathbb{R}$ 上的全体 $n$ 行 $m$ 列矩阵构成的线性空间
$GL_n(\mathbb{R})$ ： $\mathbb{R}$ 上的全体一般线性变换构成的群
$SL_n(\mathbb{R})$ ： $\mathbb{R}$ 上的全体特殊线性变换构成的群
$S_n$ ：全体 $n$ 元置换构成的群
$L_k(\mathbb{R}^n)$ ： $\mathbb{R}^n$ 上的全体 $k$ 重线性函数
$A_k(\mathbb{R}^n)$ ： $\mathbb{R}^n$ 上的全体交错 $k$ 重线性函数
变换和算子
$\mathcal{F}[f]$ ：函数 $f$ 的 Fourier 变换
$\mathcal{F}^{-1}[f]$ ：函数 $f$ 的 Fourier 逆变换
$\mathcal{K}[f]$ ：函数 $f$ 的 Kelvin 变换
$\mathcal{L}[f]$ ：函数 $f$ 的 Laplace 变换
$\mathcal{R}[f]$ ：函数 $f$ 的 Radon 变换
$\nabla$ ： Hamilton 算子
$\nabla{f}$ ：函数 $f$ 的梯度
$\nabla\cdot{f}$ ：函数 $f$ 的散度
$\nabla\times{f}$ ：函数 $f$ 的旋度
$\Delta$ ： Laplace 算子
$\ker(\varphi)$ ：映射 $\varphi$ 的核
$\text{im}(\varphi)$ ：映射 $\varphi$ 的像
$\text{Re}(z)$ ：复数 $z$ 的实部
$\text{Im}(z)$ ：复数 $z$ 的虚部
$\arg(z)$ ：复数 $z$ 的辐角
$X^T$ ：矩阵 $X$ 的转置
$\det(X)$ ：矩阵 $X$ 的行列式
$\text{tr}(X)$ ：矩阵 $X$ 的迹
$\mathtip{m(E)}{集合 E 的 Lebesgue 测度}$ ：集合 $E$ 的 Lebesgue 测度
函数
$\sin$ ：正弦函数
$\cos$ ：余弦函数
$\tan$ ：正切函数
$\sec$ ：正割函数
$\csc$ ：余割函数
$\cot$ ：余切函数
$\arcsin$ ：反正弦函数
$\arccos$ ：反余弦函数
$\arctan$ ：反正切函数
$\text{arcsec}$ ：反正割函数
$\text{arccsc}$ ：反余割函数
$\text{arccot}$ ：反余切函数
$\sinh$ ：双曲正弦函数
$\cosh$ ：双曲余弦函数
$\tanh$ ：双曲正切函数
$\text{sech}$ ：双曲正割函数
$\text{csch}$ ：双曲余割函数
$\coth$ ：双曲余切函数
$\text{arcsinh}$ ：反双曲正弦函数
$\text{arccosh}$ ：反双曲余弦函数
$\text{arctanh}$ ：反双曲正切函数
$\text{arcsech}$ ：反双曲正割函数
$\text{arccsch}$ ：反双曲余割函数
$\text{arccoth}$ ：反双曲余切函数
$\exp$ ：以 $e$ 为底的指数函数
$\ln$ ：以 $e$ 为底的指数函数
$\sup$ ：上确界
$\inf$ ：下确界
$\lim$ ：极限
$\limsup$ ：上极限
$\liminf$ ：下极限
$\max$ ：最大值
$\min$ ：最小值
$\gcd$ ：最大公因数
$\text{lcm}$ ：最小公倍数
$\text{mod}$ ：取余函数
$\text{sign}$ ：符号函数
$\lceil{\enspace}\rceil$ ：向上取整
$\lfloor{\enspace}\rfloor$ ：向下取整
$\mathtip{\langle{\cdot,\cdot}\rangle}{\langle{\mathscr{X},\mathscr{Y}}\rangle\to\mathbb{R}}$ ：线性空间 $\mathscr{X}$ 与线性空间 $\mathscr{Y}$ 上的有序双线性配对
$\delta_{i,j}$ ： Kronecker 符号
逻辑关系
$\wedge$ ：逻辑关系“且”
$\vee$ ：逻辑关系“或”
$\neg$ ：逻辑关系“非”
$\sim$ ：等价关系
重指标
对重指标 $\alpha = (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n) \in \mathbb{N}^n$
给定 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n) \in \mathbb{R}^n$
记
$$
|\alpha| = \sum_{k=1}^{n}{\alpha_k}
$$
记
$$
x^\alpha = x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2} \cdots x_n^{\alpha_n}
$$
记
$$
\frac{\partial^\alpha}{\partial{x}^\alpha} \triangleq \frac{\partial^{\alpha_1}}{\partial{x_1}^{\alpha_1}} \frac{\partial^{\alpha_2}}{\partial{x_2}^{\alpha_2}} \cdots
\frac{\partial^{\alpha_n}}{\partial{x_n}^{\alpha_n}}
$$
简记
$$
\partial^\alpha \triangleq \frac{\partial^\alpha}{\partial{x}^\alpha} \qquad \partial_j \triangleq \frac{\partial}{\partial{x^j}}
$$
其他文字说明
关于各种数学注释符号
本博客中涉及大量数学注释符号，用于清楚展现各数学概念之间的关系。
注释符号通过 mathtip 表示，鼠标悬停到对应位置就会显示。
关于空间
定义板块中所涉及的所有关于拓扑空间的定义均是分离的，即作为拓扑空间的集合与其上的拓扑（或度量、范数等）是分开定义的。
例如： $L^p$ 空间、 $L^p$ 范数； Sobolev 空间、 Sobolev 空间上的范数；线性算子空间、线性算子空间的范数等。
但为了体现拓扑空间的整体特征，另会在例子中叙述拓扑空间的完整建立过程。
对于各种带有结构（代数学结构、拓扑学结构、几何学结构）的空间，将空间视作有序对，不视作集合，但仍接受符号简记，若需用到集合，需用 mathtip 注释代表。
空间所对应的集合永远位于有序对的最左端，右端依次写入空间的结构（代数学结构先于拓扑学结构，拓扑学结构先于几何学结构）。如有必要需要额外指出空间的意义。
例如：
$(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$ ：集合 $\mathbb{R}^n$ 与数域 $\mathbb{R}$ 构成的线性空间
$(\mathbb{R}^n,\mathbb{R},\lVert{\cdot}\rVert)$ ：集合 $\mathbb{R}^n$ 与数域 $\mathbb{R}$ 与范数 $\lVert{\cdot}\rVert$ 构成的赋范线性空间
$(\mathbb{R}^n,\mathbb{R},\lVert{\cdot}\rVert,(\cdot,\cdot))$ ：集合 $\mathbb{R}^n$ 与数域 $\mathbb{R}$ 与范数 $\lVert{\cdot}\rVert$ 与内积 $(\cdot,\cdot)$ 构成的带有内积的赋范线性空间
$(\mathbb{R}^n,\mathbb{R},\lVert{\cdot}\rVert,(\cdot,\cdot),\mathtip{m}{Lebesgue 测度})$ ：集合 $\mathbb{R}^n$ 与数域 $\mathbb{R}$ 与范数 $\lVert{\cdot}\rVert$ 与内积 $(\cdot,\cdot)$ 与测度 $\mathtip{m}{Lebesgue 测度}$ 构成的带有测度和内积的赋范线性空间
$(\mathbb{R}^n,\mathcal{O})$ ：集合 $\mathbb{R}^n$ 与拓扑 $\mathcal{O}$ 构成的拓扑空间
$(\mathbb{R}^n,d)$ ：集合 $\mathbb{R}^n$ 与度量 $d$ 构成的度量空间
$\mathscr{X}^* \triangleq \mathscr{L}(\mathscr{X},\mathbb{R})$ ：线性空间 $\mathscr{X}$ 上的全体有界线性泛函与数域 $\mathbb{R}$ 构成的线性空间，即线性空间 $\mathscr{X}$ 的对偶空间 $\mathscr{X}^*$
$(G,\ast)$ ：集合 $G$ 与运算 $\ast$ 构成的群
$(G,\ast,+)$ ：集合 $G$ 与运算 $\ast$ 与运算 $+$ 构成的环
空间的结构有如下几种：
代数学结构：
群结构
环结构
域结构
线性结构
拓扑学结构：
拓扑结构
分离结构
可数结构
几何学结构：
度量结构
范数结构
内积结构
测度结构
微分结构