定义 上极限

自然语言

序列上极限

对序列 $\{x_n\} \subset \mathbb{R}^n$ ，定义其上极限为

$$ \bbox[5pt]{ \limsup_{n\to\infty}{x_n} \triangleq \lim_{n\to\infty}{\sup_{k>n}{x_k}} } $$

函数上极限

给定函数 $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 和 $x_0 \in \mathbb{R}^n$
定义函数 $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 在 $x_0$ 处的上极限为

$$ \bbox[5pt]{ \limsup_{x \to x_0}{f(x)} \triangleq \lim_{\varepsilon\to0}{\sup_{x\in\widehat{B}(x_0,\varepsilon)}{f(x)}} } $$

其中 $\widehat{B}(x_0,\varepsilon)$ 代表以 $x_0$ 为球心， $\varepsilon$ 为半径的去心开球，即

$$ \bbox[5pt]{ \widehat{B}(x_0,\varepsilon) \triangleq \{x\in\mathbb{R}^n \big| 0<|x-x_0|<\varepsilon\} } $$