定义 上确界

自然语言

序列上确界

给定序列 $\{x_n\} \subset \mathbb{R}$
若 $\exists M \in \mathbb{R}$ 使得 $\forall n \in \mathbb{N}$ 成立

$$ \bbox[5pt]{ x_n \leqslant M } $$

即 $M$为序列 $\{x_n\}$ 的上界
且 $\forall \varepsilon > 0 , \exists n_0 \in \mathbb{N}$ 成立

$$ \bbox[5pt]{ x_{n_0} > M-\varepsilon } $$

则称 $M$ 为序列 $\{x_n\}$ 的上确界，记作

$$ \bbox[5pt]{ \sup_{n\in\mathbb{N}}{x_n} \triangleq M } $$

函数上确界

给定函数 $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$
若 $\exists M \in \mathbb{R}$ 使得 $\forall x \in \mathbb{R}^n$ 成立

$$ \bbox[5pt]{ f(x) \leqslant M } $$

即 $M$ 为函数 $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 的上界
且 $\forall \varepsilon > 0 , \exists x_0 \in \mathbb{R}^n$ 成立

$$ \bbox[5pt]{ f(x_0) > M-\varepsilon } $$

则称 $M$ 为函数 $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 的上确界，记作

$$ \bbox[5pt]{ \sup_{x\in\mathbb{R}^n}{f(x)} \triangleq M } $$