定义 乘积拓扑空间

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给定拓扑空间 $(X,\mathcal{O}_X)$ 和拓扑空间 $(Y,\mathcal{O}_Y)$
定义 $X,Y$ 的 Cartesian 积 $X \times Y$ 上的子集类 $\mathcal{O}_{X \times Y}$ 为

$$ \bbox[5pt]{ \begin{aligned} \mathcal{O}_{X \times Y} & \triangleq \overline{\{(U_X,U_Y) \big| U_X \in \mathcal{O}_X , U_Y \in \mathcal{O}_Y\}} \\ & \triangleq \left\{U \big| U = \bigcup_{\alpha \in I}{U_\alpha} , \{U_\alpha\} \subset \{(U_X,U_Y) \big| U_X \in \mathcal{O}_X , U_Y \in \mathcal{O}_Y\}\right\} \end{aligned} } $$

则 $\mathcal{O}_{X \times Y}$ 为 $X \times Y$ 上的拓扑
称拓扑空间 $(X \times Y,\mathcal{O}_{X \times Y})$ 为拓扑空间 $(X,\mathcal{O}_X)$ 和拓扑空间 $(Y,\mathcal{O}_Y)$ 的乘积拓扑空间