定义 交错多重线性函数

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给定线性空间 $\mathscr{X} = (X,\mathbb{R})$ 上的 $k$ 重线性函数 $f : X^k \to \mathbb{R}$ ，若满足

$\forall v_1 , \cdots , v_k \in X$ 与 $\forall \sigma \in S_k$ 成立 $$ \bbox[5pt]{ f(v_{\sigma(1)},\cdots,v_{\sigma(k)}) = \text{sign}(\sigma) f(v_1,\cdots,v_k) } $$

其中 $S_k$ 为 $k$ 元置换群
则称线性空间 $\mathscr{X} = (X,\mathbb{R})$ 上的 $k$ 重线性函数 $f : X^k \to \mathbb{R}$ 为交错多重线性函数