定义 光滑函数

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$\mathbb{R}^n$ 上的光滑函数

给定函数 $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$
若 $\forall \alpha \in \mathbb{N}^n$ 为重指标，成立以下函数

$$ \bbox[5pt]{ \frac{\partial^\alpha{f}}{\partial{x}^\alpha} : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} } $$

为连续函数
则称函数 $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 为光滑函数

光滑流形上的光滑函数

给定 $m$ 维光滑流形 $M = (X,\mathcal{O},\mathscr{A})$
给定函数 $f : X \to \mathbb{R}$
若 $\forall (U,\varphi) \in \mathscr{A}$ 为坐标卡成立以下函数

$$ \bbox[5pt]{ f \circ \varphi^{-1} : \varphi(U) \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} } $$

为光滑函数
则称函数 $f : X \to \mathbb{R}$ 为光滑函数