定义 光滑切向量场作用在光滑函数上

自然语言

给定 $m$ 维光滑流形 $M$ 与 $M$ 上的光滑切向量场 $X$
给定 $M$ 上的光滑函数 $f$
定义光滑函数为

$\forall p \in \mathtip{M}{视作集合}$ $$ \bbox[5pt]{ \mathtip{\langle{X,f}\rangle}{\langle{\mathfrak{X}(M),C^\infty(M) }\rangle\to C^\infty(M)}(p) \triangleq \mathtip{\langle{X_p,f}\rangle}{\langle{T_pM,C^\infty_p(M)}\rangle\to\mathbb{R}} = X_pf } $$

则称 $\mathtip{\langle{X,f}\rangle}{\langle{\mathfrak{X}(M),C^\infty(M) }\rangle\to C^\infty(M)}$ 为 $X$ 作用在 $f$ 上