定义 光滑映射

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$\mathbb{R}^n$ 上的光滑映射

给定映射 $f = (f_1,\cdots,f_n) : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$
若$\forall k \in \mathbb{N}$ 且 $1 \leqslant k \leqslant n$ ， $\forall \alpha \in \mathbb{N}^m$ 为重指标，成立

$$ \bbox[5pt]{ \frac{\partial^\alpha{f_k}}{\partial{x}^\alpha} : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} } $$

为连续函数
则称映射 $f : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ 为光滑映射

光滑流形间的光滑映射

给定 $m$ 维光滑流形 $M = (X,\mathcal{O}_M,\mathscr{A}_M)$ 与 $n$ 维光滑流形 $N = (Y,\mathcal{O}_N,\mathscr{A}_N)$
给定映射 $f : X \to Y$
若 $\forall (U,\varphi) \in \mathscr{A}_M , \forall (V,\psi) \in \mathscr{A}_N$ 为坐标卡且 $f(U) \subset V$ 成立以下函数

$$ \bbox[5pt]{ \psi \circ f \circ \varphi^{-1} : \varphi(U) \subset \mathbb{R}^m \to \psi(V) \subset \mathbb{R}^n } $$

为光滑映射
则称映射 $f : X \to Y$ 为光滑映射