定义 光滑映射的微分

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给定 $m$ 维光滑流形 $M$ 与 $p \in \mathtip{M}{视作集合}$
给定光滑函数 $f : \mathtip{M}{视作集合} \to \mathbb{R}$
定义映射 $df|_p : \mathtip{T_pM}{M 上在 p 处的全体切向量} \to \mathbb{R}$ 为

$\forall X_p \in \mathtip{T_pM}{M 上在 p 处的全体切向量}$ 成立 $$ \bbox[5pt]{ \mathtip{\langle{df|_p,X_p}\rangle}{\langle{T_p^*M,T_pM}\rangle\to\mathbb{R}} = \mathtip{\langle{X_p,f}\rangle}{\langle{T_pM,C^\infty_p(M)}\rangle\to\mathbb{R}} } $$

则称映射 $df|_p$ 为光滑函数 $f$ 在 $p$ 处的微分