定义 光滑结构

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给定拓扑流形 $M = (X,\mathcal{O})$
给定 $\mathscr{A} = \{(U_\alpha,\varphi_\alpha) \big| \alpha \in I\}$ 为拓扑流形 $M$ 的坐标卡的集合其满足以下三条性质
（1）（开覆盖） $\{U_\alpha \big| \alpha \in I\}$ 是 $X$ 的一个开覆盖
（2）（光滑相关） $\forall \alpha,\beta \in I$ ，坐标卡 $(U_\alpha,\varphi_\alpha)$ 与坐标卡 $(U_\beta,\varphi_\beta)$ 光滑相关
（3）（极大性）若 $(U,\varphi)$ 为拓扑流形 $M$ 的坐标卡且 $\forall (U_\alpha,\varphi_\alpha) \in \mathscr{A}$ ，坐标卡 $(U,\varphi)$ 与坐标卡 $(U_\alpha,\varphi_\alpha)$ 光滑相关，则 $(U,\varphi) \in \mathscr{A}$
则称 $\mathscr{A} = \{(U_\alpha,\varphi_\alpha) \big| \alpha \in I\}$ 为拓扑流形 $M = (X,\mathcal{O})$ 上的光滑结构