定义 内积

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给定线性空间 $\mathscr{X} = (X,\mathbb{R})$ ，定义其上的双线性函数 $\mathtip{\langle{\cdot , \cdot}\rangle}{\langle{\mathscr{X},\mathscr{X}}\rangle\to\mathbb{R}} : X \times X \to \mathbb{R}$ 且满足以下两条性质
（1）（双线性性）

$\forall x_1,x_2 \in X , \forall y \in X , \forall a,b \in \mathbb{R}$ 成立 $$ \bbox[5pt]{ \mathtip{\langle{ax_1+bx_2,y}\rangle}{\langle{\mathscr{X},\mathscr{X}}\rangle\to\mathbb{R}} = a\mathtip{\langle{x_1,y}\rangle}{\langle{\mathscr{X},\mathscr{X}}\rangle\to\mathbb{R}} + b\mathtip{\langle{x_2,y}\rangle}{\langle{\mathscr{X},\mathscr{X}}\rangle\to\mathbb{R}} } $$ $\forall x \in X , \forall y_1,y_2 \in X , \forall a,b \in \mathbb{R}$ 成立 $$ \bbox[5pt]{ \mathtip{\langle{x,ay_1+by_2}\rangle}{\langle{\mathscr{X},\mathscr{X}}\rangle\to\mathbb{R}} = a\mathtip{\langle{x,y_1}\rangle}{\langle{\mathscr{X},\mathscr{X}}\rangle\to\mathbb{R}} + b\mathtip{\langle{x,y_2}\rangle}{\langle{\mathscr{X},\mathscr{X}}\rangle\to\mathbb{R}} } $$

（2）（对称性） $\forall x,y \in X$ 成立 $\mathtip{\langle{x,y}\rangle}{\langle{\mathscr{X},\mathscr{X}}\rangle\to\mathbb{R}} = \mathtip{\langle{y,x}\rangle}{\langle{\mathscr{X},\mathscr{X}}\rangle\to\mathbb{R}}$
（3）（正定性） $\forall x \in X$ 成立 $\mathtip{\langle{x,x}\rangle}{\langle{\mathscr{X},\mathscr{X}}\rangle\to\mathbb{R}} \geqslant 0$ 且 $\mathtip{\langle{x,x}\rangle}{\langle{\mathscr{X},\mathscr{X}}\rangle\to\mathbb{R}} = 0 \iff x = \theta$
则称双线性函数 $\mathtip{\langle{\cdot , \cdot}\rangle}{\langle{\mathscr{X},\mathscr{X}}\rangle\to\mathbb{R}}$ 为线性空间 $\mathscr{X}$ 上的内积