定义 分离公理

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给定拓扑空间 $(X,\mathcal{O})$

$T_1$ 分离公理

若 $\forall x,y \in X$ 且 $x \neq y$ ， $\exists U_x,U_y \in \mathcal{O}$ 使得 $x \in U_x , y \in U_y$ 成立

$$ \bbox[5pt]{ y \notin U_x \;,\; x \notin U_y } $$

则称拓扑空间 $(X,\mathcal{O})$ 满足 $T_1$ 分离公理

$T_2$ 分离公理

若 $\forall x,y \in X$ 且 $x \neq y$ ， $\exists U_x,U_y \in \mathcal{O}$ 使得 $x \in U_x , y \in U_y$ 成立

$$ \bbox[5pt]{ U_x \cap U_y = \varnothing } $$

则称拓扑空间 $(X,\mathcal{O})$ 满足 $T_2$ 分离公理

$T_3$ 分离公理

若 $\forall x \in X$ 与 $\forall V \subset X$ 为闭集且 $x \notin V$ ， $\exists U_x,U_V \in \mathcal{O}$ 使得 $x \in U_x , V \subset U_V$ 成立

$$ \bbox[5pt]{ U_x \cap U_V = \varnothing } $$

则称拓扑空间 $(X,\mathcal{O})$ 满足 $T_3$ 分离公理

$T_4$ 分离公理

若 $\forall U,V \subset X$ 均为闭集且 $U \cap V = \varnothing$ ， $\exists U_U,U_V \in \mathcal{O}$ 使得 $U \subset U_U , V \subset U_V$ 成立

$$ \bbox[5pt]{ U_U \cap U_V = \varnothing } $$

则称拓扑空间 $(X,\mathcal{O})$ 满足 $T_4$ 分离公理