定义 切向量

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给定 $m$ 维光滑流形 $M$
给定 $p \in \mathtip{M}{视作集合}$ ，定义在 $p$ 处函数 $v_p : \mathtip{C^\infty_p(M)}{M 上在 p 处的全体光滑函数} \to \mathbb{R}$ 且满足以下两条性质
（1）（线性性） $\forall f,g \in \mathtip{C^\infty_p(M)}{M 上在 p 处的全体光滑函数} , \forall a,b \in \mathbb{R} , v_p(af+bg) = av_p(f)+bv_p(g)$
（2）（Leibniz 法则） $\forall f,g \in \mathtip{C^\infty_p(M)}{M 上在 p 处的全体光滑函数} , v_p(fg) = v_p(f)g(p)+f(p)v_p(g)$
则称函数 $v$ 为在光滑流形 $M$ 上 $p$ 处的切向量