定义 切映射

定义 切映射（Derivative）

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给定 $m$ 维光滑流形 $M$ 与 $n$ 维光滑流形 $N$ 与 $p \in \mathtip{M}{视作集合}$
给定光滑映射 $F : \mathtip{M}{视作集合} \to \mathtip{N}{视作集合}$
定义映射 $\underset{*,p}{F} : \mathtip{T_pM}{M 在 p 处的全体切向量} \to \mathtip{T_{F(p)}N}{N 在 F(p) 处的全体切向量}$ 为

$\forall X_p \in \mathtip{T_pM}{M 在 p 处的全体切向量} , \forall f \in \mathtip{C^\infty_{F(p)}(N)}{N 上在 F(p) 处的全体光滑函数}$ 成立 $$ \bbox[5pt]{ \mathtip{\left\langle{\underset{*,p}{F}(X_p),f}\right\rangle}{\langle{T_{F(p)}N,C^\infty_{F(p)}(N)}\rangle\to\mathbb{R}} = \mathtip{\langle{X_p,f \circ F}\rangle}{\langle{T_pM,C^\infty_p(M)}\rangle\to\mathbb{R}} } $$

则称映射 $\underset{*,p}{F}$ 为光滑映射 $F$ 诱导的切映射