定义 外微分算子

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给定 $m$ 维光滑流形 $M$
定义映射 $d : \Omega(M) \to \Omega(M)$ 且满足以下五条性质
（1） $\forall k \in \mathbb{N}\cup\{0\} , d(\Omega^k(M)) \subset \Omega^{k+1}(M)$
（2） $\forall \omega^1,\omega^2 \in \mathtip{\Omega(M)}{M 上的全体微分形式} , \forall a,b \in \mathbb{R} , d(a\omega^1+b\omega^2) = ad\omega^1+bd\omega^2$
（3） $\forall \omega^1 \in \Omega^k(M) , \forall \omega^2 \in \Omega(M) , d(\omega^1 \wedge \omega^2) = (d\omega^1)\wedge\omega^2 + (-1)^k\omega^1\wedge(d\omega^2)$
（4） $\forall f \in \mathtip{\Omega^0(M)}{\mathtip{\Omega(M)}{M 上的全体 0 次微分形式}} = \mathtip{C^\infty(M)}{M 上的全体光滑函数}$ ， $df$ 为 $f$ 的微分
（5） $d^2 = d \circ d = \mathtip{0}{零映射}$
则称映射 $d$ 为外微分算子