定义 多重线性函数

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给定线性空间 $\mathscr{X} = (X,\mathbb{R})$ 和 $k \in \mathbb{N}$
给定函数 $f : X^k \to \mathbb{R}$
若 $\forall j \in \mathbb{N}$ 且 $1 \leqslant j \leqslant k$ ， $\forall a,b \in \mathbb{R} , \forall x,y \in X$ 成立

$$ \bbox[5pt]{ f(\cdots,\underbrace{ax+by}_{第 j 个位置},\cdots) = af(\cdots,\underbrace{x}_{第 j 个位置},\cdots)+bf_j(\cdots,\underbrace{y}_{第 j 个位置},\cdots) } $$

则称函数 $f : X^k \to \mathbb{R}$ 为 $k$ 重线性函数