定义 弱导数

自然语言

对函数 $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 且 $f \in \mathtip{L^1_{loc}(\mathbb{R}^n)}{全体局部可积函数}$ 与重指标 $\alpha \in \mathbb{N}^n$
若存在函数 $g : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 且 $g \in \mathtip{L^1_{loc}(\mathbb{R}^n)}{全体局部可积函数}$ 使得 $\forall \varphi \in \mathtip{C^\infty_c(\mathbb{R}^n)}{\mathbb{R}^n 上的全体光滑函数}$ 成立

$$ \bbox[5pt]{ \int_{\mathbb{R}^n}{g(x)\varphi(x)}{dx} = (-1)^{|\alpha|}\int_{\mathbb{R}^n}{f(x)\partial^\alpha{\varphi}(x)}{dx} } $$

则称函数 $g : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 为函数 $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 的弱导数，记作

$$ \bbox[5pt]{ \underset{weak}{\partial^\alpha{f}} \triangleq g } $$