定义 有序双线性配对

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给定线性空间 $\mathscr{X} = (X,\mathbb{R})$ 和线性空间 $\mathscr{Y} = (X,\mathbb{R})$ ，定义它们上面的双线性函数 $\mathtip{\langle{\cdot,\cdot}\rangle}{\langle{\mathscr{X},\mathscr{Y}}\rangle\to\mathbb{R}} : X \times Y \to \mathbb{R}$ 且满足以下两条性质
（1）（ $\mathscr{X}$ 上的线性性） $\forall x_1,x_2 \in X , \forall y \in Y , \forall a,b \in \mathbb{R}$ 成立

$$ \bbox[5pt]{ \mathtip{\langle{ax_1+bx_2,y}\rangle}{\langle{\mathscr{X},\mathscr{Y}}\rangle\to\mathbb{R}} = a\mathtip{\langle{x_1,y}\rangle}{\langle{\mathscr{X},\mathscr{Y}}\rangle\to\mathbb{R}} + b\mathtip{\langle{x_2,y}\rangle}{\langle{\mathscr{X},\mathscr{Y}}\rangle\to\mathbb{R}} } $$

（2）（ $\mathscr{Y}$ 上的线性性） $\forall x \in X , \forall y_1,y_2 \in Y , \forall a,b \in \mathbb{R}$ 成立

$$ \bbox[5pt]{ \mathtip{\langle{x,ay_1+by_2}\rangle}{\langle{\mathscr{X},\mathscr{Y}}\rangle\to\mathbb{R}} = a\mathtip{\langle{x,y_1}\rangle}{\langle{\mathscr{X},\mathscr{Y}}\rangle\to\mathbb{R}} + b\mathtip{\langle{x,y_2}\rangle}{\langle{\mathscr{X},\mathscr{Y}}\rangle\to\mathbb{R}} } $$

则称双线性函数 $\mathtip{\langle{\cdot,\cdot}\rangle}{\langle{\mathscr{X},\mathscr{Y}}\rangle\to\mathbb{R}}$ 为线性空间 $\mathscr{X}$ 与线性空间 $\mathscr{Y}$ 上的有序双线性配对