定义 极限

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$\mathbb{R}^n$ 上的序列极限

给定序列 $\{x_n\} \subset \mathbb{R}^n$
若存在 $x_0 \in \mathbb{R}^n$ 满足 $\forall \varepsilon>0 , \exists N>0$ 使得 $\forall n>N$ 成立

$$ \bbox[5pt]{ |x_n-x_0| < \varepsilon } $$

则称 $x_0$ 为序列 $\{x_n\}$ 的极限，记作

$$ \bbox[5pt]{ \lim_{n\to\infty}{x_n} \triangleq x_0 } $$

$\mathbb{R}^n$ 上的函数极限

给定函数 $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 和 $x_0 \in \mathbb{R}^n$
若存在 $y_0 \in \mathbb{R}$ 满足 $\forall \varepsilon>0 , \exists \delta>0$ 使得 $\forall x \in \widehat{B}(x_0,\delta)$ 成立

$$ \bbox[5pt]{ |f(x)-y_0| < \varepsilon } $$

则称 $y_0$ 为函数 $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 在 $x_0$ 处的极限，记作

$$ \bbox[5pt]{ \lim_{x \to x_0}{f(x)} \triangleq y_0 } $$

其中 $\widehat{B}(x_0,\delta)$ 代表以 $x_0$ 为球心， $\delta$ 为半径的去心开球，即

$$ \bbox[5pt]{ \widehat{B}(x_0,\delta) \triangleq \{x\in\mathbb{R}^n \big| 0<|x-x_0|<\delta\} } $$

赋范线性空间上的序列极限

给定赋范线性空间 $(X,\mathbb{R},\lVert{\cdot}\rVert)$
给定序列 $\{x_n\} \subset X$
若存在 $x_0 \in X$ 满足 $\forall \varepsilon>0 , \exists N>0$ 使得 $\forall n>N$ 成立

$$ \bbox[5pt]{ \lVert{x_n-x_0}\rVert < \varepsilon } $$

则称 $x_0$ 为序列 $\{x_n\}$ 的极限，记作

$$ \bbox[5pt]{ \lim_{n\to\infty}{x_n} \triangleq x_0 } $$