定义 椭圆算子

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给定 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 为有界连通开区域
定义其上的偏微分算子为

$\forall u \in \mathtip{C^2(\Omega)}{\Omega 上的全体 2 阶连续可微函数} \cap \mathtip{C^1(\overline{\Omega})}{\Omega 上的全体 1 阶一致连续可微函数}$ $$ \bbox[5pt]{ Lu(x) \triangleq \sum_{i,j=1}^{n}{a_{i,j}(x)\frac{\partial{u}}{\partial{x_i}{\partial{x_j}}}(x)} + \sum_{i=1}^{n}{b_i(x)\frac{\partial{u}}{\partial{x_i}}(x)} + c(x)u(x) } $$

其中 $a_{i,j},b_i,c \in \mathtip{C(\overline{\Omega})}{\Omega 上的全体一致连续可微函数}$ ， $\forall i,j \in \mathbb{N}$ 且 $1 \leqslant i,j \leqslant n$
若 $\forall x \in \mathbb{R}^n , \forall \xi \in \mathbb{R}^n , \exists \lambda > 0$ 成立

$$ \bbox[5pt]{ \sum_{i,j=1}^{n}{a_{i,j}(x)\xi_i\xi_j} \geqslant \lambda |\xi|^2 } $$

则称偏微分算子 $L$ 为椭圆算子