定义 线性空间

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给定非空集合 $X$ 与数域 $\mathbb{F}$ ，定义以下两种运算
（1）（加法） $\forall x,y \in X , x+y \in X$
（2）（数乘） $\forall x \in X , \forall k \in \mathbb{F}, kx \in X$
且这两种运算满足以下八条性质
（1）（加法交换律） $\forall x,y \in X , x+y = y+x$
（2）（加法结合律） $\forall x,y,z \in X , (x+y)+z = x+(y+z)$
（3）（加法零元） $\exists \theta \in X , \forall x \in X , x+\theta = \theta+x = x$
（4）（加法逆元） $\forall x \in X , \exists -x \in X , x+(-x) = (-x)+x = \theta$
（5）（数乘单位元） $\exists \mathbb{1} \in \mathbb{F} , \forall x \in X , \mathbb{1}x = x$
（6）（数乘结合律） $\forall k,l \in \mathbb{F} , \forall x \in X , (kl)x = k(lx)$
（7）（数乘分配律） $\forall k,l \in \mathbb{F} , \forall x \in X , (k+l)x = kx+lx$
（8）（加法分配律） $\forall k \in \mathbb{F} , \forall x,y \in X , k(x+y) = kx+ky$
则称集合 $X$ 成为数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间，记作 $\mathscr{X} \triangleq (X,\mathbb{F})$