定义 邻域

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$\mathbb{R}^n$ 中的邻域

给定 $\mathbb{R}^n$ 的子集 $U$ 与 $U$ 中的点 $x$
若 $\exists r > 0$ 成立

$$ \bbox[5pt]{ B(x,r) \subset U } $$

其中 $B(x,r)$ 代表以 $x$ 为球心， $r$ 为半径的开球
即 $x$ 是 $U$ 的内点，则称 $U$ 是 $x$ 的邻域

拓扑空间中的邻域

给定拓扑空间 $(X,\mathcal{O})$
给定 $X$ 的子集 $A$ 与 $A$ 中的点 $x$
若 $\exists U \in \mathcal{O}$ 成立

$$ \bbox[5pt]{ x \in U \subset A } $$

即 $x$ 是 $A$ 的内点，则称 $A$ 是 $x$ 的邻域