定义 Fourier 变换

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$L^2(\mathbb{R}^n)$ 上的 Fourier 变换

对函数 $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 且 $f \in \mathtip{L^2(\mathbb{R}^n)}{\mathbb{R}^n 上的全体 2 次可积函数}$ ，定义其 Fourier 变换为

$$ \bbox[5pt]{ \mathcal{F}[f](\xi) \triangleq \int_{\mathbb{R}^n}{f(x)e^{-i\pi x\cdot \xi}}{dx} } $$

其中 $\displaystyle x\cdot\xi \triangleq \sum_{k=1}^{n}{x_k\xi_k}$ 代表 $x$ 与 $\xi$ 的内积