定义 Hölder 函数

自然语言

给定开集 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$

$\Omega$ 上的全体指标为 $(k,\alpha)$ 的全体 Hölder 函数为 $$ \bbox[5pt]{ C^{k,\alpha}(\overline{\Omega}) = \left\{u : \Omega \to \mathbb{R} \big| \underset{C^{k,\alpha}(\overline{\Omega})}{\lVert{u}\rVert} \triangleq \sum_{|\beta| \leqslant k}{\sup_{x\in\Omega}{|\partial^\beta{u(x)}|}} + \sum_{|\beta| = k}{\sup_{\substack{x,y\in\Omega \\ x \neq y}}{\frac{|\partial^\beta{u(x)}-\partial^\beta{u(y)}|}{|x-y|^\alpha}}}<+\infty\right\} } $$