定义 Hölder 空间上的范数

自然语言

给定开集 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$

$\Omega$ 上的全体指标为 $(k,\alpha)$ 的 Hölder 范数为 $$ \bbox[5pt]{ \underset{C^{k,\alpha}(\overline{\Omega})}{\lVert{u}\rVert} \triangleq \sum_{|\beta| \leqslant k}{\sup_{x\in\Omega}{|\partial^\beta{u(x)}|}} + \sum_{|\beta| = k}{\sup_{\substack{x,y\in\Omega \\ x \neq y}}{\frac{|\partial^\beta{u(x)}-\partial^\beta{u(y)}|}{|x-y|^\alpha}}} } $$