定义 Hardy-Littlewood 极大函数

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对函数 $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 且 $f \in \mathtip{L^1_{loc}(\mathbb{R}^n)}{\mathbb{R}^n 上的全体局部可积函数}$ ，定义其 Hardy–Littlewood 极大函数为

$$ \bbox[5pt]{ M[f](x) \triangleq \sup_{r>0}{\frac{1}{\mathtip{m(B(x,r))}{Lebesgue 测度}}\int_{B(x,r)}{|f(y)|}{dy}} } $$

其中 $B(x_0,r)$ 代表以 $x_0$ 为球心， $r$ 为半径的开球，即

$$ \bbox[5pt]{ B(x_0,r) \triangleq \{x \in \mathbb{R}^n \big| |x-x_0| < r\} } $$

其中 $\mathtip{m}{Lebesgue 测度}$ 代表 Lebesgue 测度