定义 Hilbert 基

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给定 Hilbert 空间 $\mathscr{H} = (H , \mathtip{\langle{\cdot,\cdot}\rangle}{\langle{\mathscr{H},\mathscr{H}}\rangle\to\mathbb{R}})$
给定集合 $\underset{n \in \mathbb{N}}{\{e_n\}} \subset H$
若成立
（1）（标准性） $\forall n \in \mathbb{N} , \langle{e_n,e_n}\rangle = 1$
（2）（正交性） $\forall n,m \in \mathbb{N} , n \neq m , \langle{e_n,e_m}\rangle = 0$
（3）（稠密性） $\text{span}_\mathbb{R}(\{e_n\}) \subset H$ 稠密
则称集合 $\underset{n \in \mathbb{N}}{\{e_n\}} \subset H$ 为Hilbert 空间 $\mathscr{H}$ 的 Hilbert 基