定义 Lie 括号

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给定 $m$ 维光滑流形 $M$
给定 $M$ 上的光滑切向量场 $X,Y$
定义 $X,Y$ 的 Lie 括号为

$\forall f \in \mathtip{C^\infty(M)}{M 上的全体光滑函数}$ $$ \bbox[5pt]{ \mathtip{\left\langle{\underset{Lie}{[X,Y]},f}\right\rangle}{\mathfrak{X}(M),C^\infty(M) \to C^\infty(M)} \triangleq \mathtip{\langle{X,\mathtip{\langle{Y,f}\rangle}{\mathfrak{X}(M),C^\infty(M) \to C^\infty(M)}}\rangle}{\mathfrak{X}(M),C^\infty(M) \to C^\infty(M)} - \mathtip{\langle{Y,\mathtip{\langle{X,f}\rangle}{\mathfrak{X}(M),C^\infty(M) \to C^\infty(M)}}\rangle}{\mathfrak{X}(M),C^\infty(M) \to C^\infty(M)} } $$