定义 Sobolev 空间上的范数

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给定开集 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$

$\Omega$ 上的全体指标为 $(m,p)$ 的 Sobolev 函数为 $$ \bbox[5pt]{ W^{m,p}(\Omega) \triangleq \left\{u \in \mathtip{L^p(\Omega)}{\Omega 上的全体 p 次可积函数} \big| \forall\alpha\in\mathbb{N}^n , |\alpha| \leqslant m , \underset{weak}{\partial^\alpha{u}} \in \mathtip{L^p(\Omega)}{\Omega 上的全体 p 次可积函数}\right\} } $$

定义其上的范数为

$$ \bbox[5pt]{ \underset{W^{m,p}(\Omega)}{\lVert{u}\rVert} \triangleq \left(\underset{L^p(\Omega)}{\lVert{u}\rVert}^p + \sum_{|\alpha| \leqslant m}{\underset{L^p(\Omega)}{\left\lVert{\underset{weak}{\partial^\alpha{u}} }\right\rVert}^p}\right)^\frac{1}{p} } $$