实例 对偶空间

对线性空间 $\mathscr{X} = (X,\mathbb{R})$ ，定义其对偶空间 $\mathscr{X}^*$ 为

$$ \bbox[5pt]{ \mathscr{X}^* \triangleq {\mathscr{L}(\mathscr{X},\mathbb{R})} } $$

即线性空间 $\mathscr{X}$ 上的全体有界线性泛函构成的线性空间

线性空间

对偶空间 $\mathscr{X}^*$ 可定义加法与 $\mathbb{R}$ 上的数乘如下
（1）（加法） $\forall T_1,T_2 \in \mathtip{\mathscr{L}(\mathscr{X},\mathbb{R})}{\mathscr{X} 上的全体有界线性泛函}$ 及 $\forall x \in X$

$$ \bbox[5pt]{ (T_1+T_2)(x) \triangleq T_1(x)+T_2(x) } $$

（2）（数乘） $\forall \alpha\in\mathbb{R} , \forall T \in \mathtip{\mathscr{L}(\mathscr{X},\mathbb{R})}{\mathscr{X} 上的全体有界线性泛函}$ 及 $\forall x \in X$

$$ \bbox[5pt]{ (\alpha T)(x) = \alpha T(x) } $$

此时对偶空间 $\mathscr{X}^*$ 成为线性空间

范数

对 $T \in \mathtip{\mathscr{L}(\mathscr{X},\mathbb{R})}{\mathscr{X} 上的全体有界线性泛函}$ ，定义其范数为

$$ \bbox[5pt]{ \begin{aligned} \lVert{{T}}\rVert_{\mathscr{X}^*} & \triangleq \sup_{x \in X\backslash\theta}{\frac{|T(x)|}{\lVert{{x}}\rVert_\mathscr{X}}} \\ & = \sup_{\lVert{{x}}\rVert_\mathscr{X}=1}{|Tx|} \end{aligned} } $$

满足
（1）（相容性） 范数 $\lVert{{\cdot}}\rVert_{\mathscr{X}^*}$ 是线性算子的范数 $\underset{\mathscr{L}(\mathscr{X},\mathscr{Y})}{\lVert{\cdot}\rVert}$ 的特殊情形，即 $\lVert{{\cdot}}\rVert_{\mathscr{X}^*} = \underset{\mathscr{L}(\mathscr{X},\mathbb{R})}{\lVert{\cdot}\rVert}$
（2）（完备性） 空间 $(\mathscr{X}^*,\lVert{{\cdot}}\rVert_{\mathscr{X}^*})$ 完备

此时对偶空间 $\mathscr{X}^*$ 成为完备的赋范线性空间，即 Banach 空间