实例 Rn 欧氏空间

实例 $\mathbb{R}^n$ 欧氏空间

欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 定义如下

$$ \bbox[5pt]{ \mathbb{R}^n \triangleq \{x=(x_1,\cdots,x_n) \big| x_i\in\mathbb{R},1 \leqslant i \leqslant n\} } $$

线性空间

欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 可定义加法与 $\mathbb{R}$ 上的数乘如下
（1）（加法） $\forall x=(x_1,\cdots,x_n),y=(y_1,\cdots,y_n) \in \mathbb{R}^n$

$$ \bbox[5pt]{ x + y = (x_1,\cdots,x_n) + (y_1,\cdots,y_n) \triangleq (x_1+y_1,\cdots,x_n+y_n) } $$

（2）（数乘） $\forall \alpha\in\mathbb{R} , \forall x=(x_1,\cdots,x_n) \in \mathbb{R}^n$

$$ \bbox[5pt]{ \alpha x = \alpha(x_1,\cdots,x_n) = (\alpha x_1,\cdots,\alpha x_n) } $$

此时欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 成为线性空间

范数

$\forall p \geqslant 1$ ，欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 上的 $p$ 范数定义如下 $\forall x=(x_1,\cdots,x_n) \in \mathbb{R}^n$ $$ \bbox[5pt]{ \lVert{x}\rVert_p = \lVert{(x_1,\cdots,x_n)}\rVert_p \triangleq \left(\sum_{k=1}^{n}{|x_k|^p}\right)^{\frac{1}{p}} } $$

满足
（1）（等价性） $\forall p,q \geqslant 1$ ，范数 $\lVert{\cdot}\rVert_p$ 与范数 $\lVert{\cdot}\rVert_q$ 等价
（2）（完备性） $\forall p \geqslant 1$ ，空间 $(\mathbb{R}^n,\mathbb{R},\lVert{\cdot}\rVert_p)$ 完备

此时欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 成为完备的赋范线性空间，即 Banach 空间

内积

欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 上的内积定义如下

$\forall x=(x_1,\cdots,x_n),y=(y_1,\cdots,y_n) \in \mathbb{R}^n$ $$ \bbox[5pt]{ x \cdot y = (x_1,\cdots,x_n)\cdot(y_1,\cdots,y_n) \triangleq \sum_{k=1}^{n}{x_ky_k} } $$

满足
（1）（相容性） 范数 $\lVert{\cdot}\rVert_2$ 与内积 $\cdot$ 相容，即 $\forall x \in \mathbb{R}^n , \lVert{x}\rVert_2 = \sqrt{x \cdot x}$

此时欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 成为完备的内积空间，即 Hilbert 空间