定理 闭区间套定理

给定闭区间列 $\{[a_n,b_n]\}$
满足
（1）（渐缩性） $\forall n \in \mathbb{N} , [a_n,b_n] \subset [a_{n+1},b_{n+1}]$
（2）（任意小性） $\displaystyle \lim_{n\to\infty}{|b_n-a_n|} = 0$
则 $\exists! x \in \mathbb{R}$ 成立

$$ \bbox[5pt]{ \bigcap_{n=1}^{\infty}{[a_n,b_n]} = \{x\} } $$

且

$$ \bbox[5pt]{ \lim_{n\to\infty}{a_n} = \lim_{n\to\infty}{b_n} = x } $$

证明