定理 Dirichlet 积分定理

广义 Riemann 积分意义下成立

$$ \bbox[5pt]{ \int_{0}^{\infty}{\frac{\sin{x}}{x}}{dx} = \frac{\pi}{2} } $$

推广形式

给定 $a,b \in \mathbb{R}$ 且 $a \neq 0$
广义 Riemann 积分意义下成立

$$ \bbox[5pt]{ \int_{0}^{\infty}{\frac{\sin{bx}}{xe^{ax}}}{dx} = \arctan{\frac{b}{a}} } $$

证明