定理 Frullani 积分定理

给定连续函数 $f : (0,\infty) \to \mathbb{R}$ 满足
（1）（无穷远处有界） $\displaystyle \lim_{x\to\infty}{f(x)} \in \mathbb{R}$
（2）（原点处有界） $\displaystyle \lim_{x\to0}{f(x)} \in \mathbb{R}$
成立

$$ \bbox[5pt]{ \int_{0}^{\infty}{\frac{f(ax)-f(bx)}{x}}{dx} = \left(\lim_{x\to0}{f(x)}-\lim_{x\to\infty}{f(x)}\right)\ln{\frac{b}{a}} } $$

证明