定理 Hölder 不等式

给定 $p , q \geqslant 1$ 满足 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$
则 $\forall f \in \mathtip{L^p(\mathbb{R}^n)}{\mathbb{R}^n 上的全体 p 次可积函数}$ 和 $\forall g \in \mathtip{L^q(\mathbb{R}^n)}{\mathbb{R}^n 上的全体 q 次可积函数}$
成立

$$ \bbox[5pt]{ \int_{\mathbb{R}^n}{f(x)g(x)}{dx} \leqslant \mathtip{\lVert{f}\rVert_p}{L^p(\mathbb{R}^n) 上的范数}\mathtip{\lVert{g}\rVert_q}{L^q(\mathbb{R}^n) 上的范数} } $$

推广形式

给定 $N \in \mathbb{N}$
对 $1 \leqslant k \leqslant N$ ，给定 $p_k \geqslant 1$ 及 $r \geqslant 1$ 满足 $\displaystyle \sum_{k=1}^N{\frac{1}{p_k}} = \frac{1}{r}$
则对 $1 \leqslant k \leqslant N$ ，$\forall f_k \in \mathtip{L^{p_k}(\mathbb{R}^n)}{\mathbb{R}^n 上的全体 p_k 次可积函数}$
成立

$$ \bbox[5pt]{ \mathtip{\left\lVert{\prod_{k=1}^{N}{f_k}}\right\rVert_r}{L^r(\mathbb{R}^r) 上的范数} \leqslant \prod_{k=1}^{N}{\mathtip{\lVert{f_k}\rVert_{p_k}}{L^{p_k}(\mathbb{R}^n) 上的范数}} } $$

证明