定理 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式

Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式

给定 $1 < \alpha < n$ 和 $1 < p < q < \infty$ 且 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$
则 $\exists C > 0$ 使得 $\forall f \in \mathtip{L^p(\mathbb{R}^n)}{\mathbb{R}^n 上的全体 p 次可积函数}$
成立

$$ \bbox[5pt]{ \mathtip{\left\lVert{\int_{\mathbb{R}^n}{\frac{f(y)}{|\cdot-y|^{n-\alpha}}}{dy}}\right\rVert_q}{L^q(\mathbb{R}^n) 上的范数} \leqslant C\mathtip{\lVert{f}\rVert_p}{L^p(\mathbb{R}^n) 上的范数} } $$

证明