定理 Laplace 积分定理

$\forall a,b > 0$

成立

$$ \bbox[5pt]{ \begin{aligned} \int_{0}^{\infty}{\frac{\cos{bx}}{a^2+x^2}}{dx} & = \frac{\pi}{2a}e^{-ab} \\ \int_{0}^{\infty}{\frac{x\sin{bx}}{a^2+x^2}}{dx} & = \frac{\pi}{2}e^{-ab} \end{aligned} } $$

推广形式

$\forall a,b > 0$

成立

$$ \bbox[5pt]{ \begin{aligned} \int_{0}^{\infty}{\frac{\cos{bx}}{(a^2+x^2)^2}}{dx} & = \frac{(ab+1)\pi}{4a^3}e^{-ab} \\ \int_{0}^{\infty}{\frac{x\sin{bx}}{(a^2+x^2)^2}}{dx} & = \frac{b\pi}{4a}e^{-ab} \end{aligned} } $$

证明