定理 Leibniz 法则

给定函数 $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 和函数 $g : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 且 $f,g \in \mathtip{C^1(\mathbb{R}^n)}{\mathbb{R}^n 上的全体 1 阶连续可微函数}$
则 $\forall j \in \mathbb{N} , 1 \leqslant j \leqslant n$ 成立

$$ \bbox[5pt]{ \frac{\partial(fg)}{\partial{x_j}} = \frac{\partial{f}}{\partial{x_j}}g + f\frac{\partial{g}}{\partial{x_j}} } $$

证明