定理 Lobatchevski 积分定理

给定函数 $f : [0,\infty) \to \mathbb{R}$ 满足
（1）（以 $\pi$ 为周期） $\forall x\in\mathbb{R} , f(x) = f(x+\pi)$
（2）（关于 $\frac{\pi}{2}$ 对称） $\forall x\in[0,\pi] , f(x) = f(\pi-x)$
则成立

$$ \bbox[5pt]{ \int_{0}^{\infty}{\frac{f(x)\sin{x}}{x}}{dx} = \int_{0}^{\infty}{\frac{f(x)\sin^2{x}}{x^2}}{dx} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(x)}{dx} } $$

证明