定理 Marcinkiewicz 内插定理

对角型

给定 $1 < p_1 < p_2 \leqslant \infty$ 和 $p_\theta \in (0,\infty)$ 和 $\theta \in (0,1)$ 满足

$$ \bbox[5pt]{ \frac{1}{p_\theta} = \frac{\theta}{p_1} + \frac{1-\theta}{p_2} } $$

给定 $T : \mathtip{L^{p_1}(\mathbb{R}^n)}{\mathbb{R}^n 上的全体 p_1 次可积函数} + \mathtip{L^{p_2}(\mathbb{R}^n)}{\mathbb{R}^n 上的全体 p_2 次可积函数} \to \mathtip{\mathscr{L}(\mathbb{R}^n)}{\mathbb{R}^n 上的全体可测函数}$ 为次线性算子
若 $\exists A_1,A_2 > 0$ 成立

$$ \bbox[5pt]{ \begin{aligned} \forall f \in \mathtip{L^{p_1}(\mathbb{R}^n)}{\mathbb{R}^n 上的全体 p_1 次可积函数} , \mathtip{\lVert{T(f)}\rVert_{p_1,\infty}}{L^{p_1,\infty}(\mathbb{R}^n) 上的范数} \leqslant A_1\mathtip{\lVert{f}\rVert_{p_1}}{{L^{p_1}(\mathbb{R}^n)} 上的范数} \\ \forall f \in \mathtip{L^{p_2}(\mathbb{R}^n)}{\mathbb{R}^n 上的全体 p_2 次可积函数} , \mathtip{\lVert{T(f)}\rVert_{p_2,\infty}}{L^{p_2,\infty}(\mathbb{R}^n) 上的范数} \leqslant A_2\mathtip{\lVert{f}\rVert_{p_2}}{{L^{p_2}(\mathbb{R}^n)} 上的范数} \end{aligned} } $$

则 $\forall f \in \mathtip{L^{p_\theta}(\mathbb{R}^n)}{\mathbb{R}^n 上的全体 p_\theta 次可积函数} , T(f) \in \mathtip{L^{p_\theta}(\mathbb{R}^n)}{\mathbb{R}^n 上的全体 p_\theta 次可积函数}$ 且成立

$$ \bbox[5pt]{ \forall f \in \mathtip{L^{p_\theta}(\mathbb{R}^n)}{\mathbb{R}^n 上的全体 p_\theta 次可积函数} , \mathtip{\lVert{T(f)}\rVert_{p_\theta}}{L^{p_\theta}(\mathbb{R}^n) 上的范数} \leqslant A_{p_1,p_2,\theta}A_1^{\theta}A_2^{1-\theta}\mathtip{\lVert{f}\rVert_{p_\theta}}{L^{p_\theta}(\mathbb{R}^n) 上的范数} } $$

其中

$$ \bbox[5pt]{ A_{p_1,p_2,\theta} = 2\left(\frac{p_\theta}{p_\theta-p_1}-\frac{p_\theta}{p_\theta-p_2}\right)^{\frac{1}{p_\theta}} } $$

推广形式

给定 $1 \leqslant p_1 \leqslant q_1 \leqslant \infty$ 和 $1 \leqslant p_2 \leqslant q_2 \leqslant \infty$ 满足 $p_1 < p_2$ 且 $q_1 \neq q_2$
给定 $T : \mathtip{L^{p_1}(X,\mu)}{测度空间 (X,\mu) 上的全体 p_1 次可积函数} + \mathtip{L^{p_2}(X,\mu)}{测度空间 (X,\mu) 上的全体 p_2 次可积函数} \to \mathtip{\mathscr{L}_{\mathbb{C}}(Y,\nu)}{测度空间 (Y,\nu) 上的全体复值可测函数}$ 为次线性算子
若 $\exists A_1,A_2 > 0$ 成立

$$ \bbox[5pt]{ \begin{aligned} \forall f \in \mathtip{L^{p_1}(X,\mu)}{测度空间 (X,\mu) 上的全体 p_1 次可积函数} , \mathtip{\lVert{T(f)}\rVert_{q_1,\infty}}{L^{q_1,\infty}(Y,\nu) 上的范数} \leqslant A_1\mathtip{\lVert{f}\rVert_{p_1}}{L^{p_1}(X,\mu) 上的范数} \\ \forall f \in \mathtip{L^{p_2}(X,\mu)}{测度空间 (X,\mu) 上的全体 p_2 次可积函数} , \mathtip{\lVert{T(f)}\rVert_{q_2,\infty}}{L^{q_2,\infty}(Y,\nu) 上的范数} \leqslant A_2\mathtip{\lVert{f}\rVert_{p_2}}{L^{p_2}(X,\mu) 上的范数} \end{aligned} } $$

则 $\forall \theta \in (0,1) , \exists K_{p_1,p_2,q_1,q_2,\theta} > 0$ 成立

$$ \bbox[5pt]{ \forall f \in \mathtip{L^p(X,\mu)}{测度空间 (X,\mu) 上的全体 p 次可积函数} , \mathtip{\lVert{T(f)}\rVert_q}{L^{q}(Y,\nu) 上的范数} \leqslant K_{p_1,p_2,q_1,q_2,\theta}A_1^{\theta}A_2^{1-\theta}\mathtip{\lVert{f}\rVert_p}{L^p(X,\mu) 上的范数} } $$

其中

$$ \bbox[5pt]{ \frac{1}{p} = \frac{\theta}{p_1} + \frac{1-\theta}{p_2} , \frac{1}{q} = \frac{\theta}{q_1} + \frac{1-\theta}{q_2} } $$

证明