定理 Minkovski 不等式

给定 $p \geqslant 1$
则 $\forall f,g \in \mathtip{L^p(\mathbb{R}^n)}{\mathbb{R}^n 上的全体 p 次可积函数 }$
成立

$$ \bbox[5pt]{ \mathtip{\lVert{f+g}\rVert_p}{L^p(\mathbb{R}^n) 上的范数} \leqslant \mathtip{\lVert{f}\rVert_p}{L^p(\mathbb{R}^n) 上的范数} + \mathtip{\lVert{g}\rVert_p}{L^p(\mathbb{R}^n) 上的范数} } $$

推广形式

给定 $1 \leqslant p < \infty$
给定函数 $F : \mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$
若满足 $F(\cdot,y) \in \mathtip{L^p(\mathbb{R}^n)}{\mathbb{R}^n 上的全体 p 次可积函数 }$ 且 $\mathtip{\lVert{F(x,\cdot)}\rVert_p}{L^p(\mathbb{R}^n) 上的范数} \in \mathtip{L^1(\mathbb{R}^n)}{\mathbb{R}^m 上的全体可积函数}$
成立

$$ \bbox[5pt]{ \mathtip{\left\lVert{\int_{\mathbb{R}^m}{F(x,\cdot)}{dx}}\right\rVert_p}{L^p(\mathbb{R}^n) 上的范数} \leqslant \int_{\mathbb{R}^m}{\mathtip{\lVert{F(x,\cdot)}\rVert_p}{L^p(\mathbb{R}^n) 上的范数}}dx } $$

证明