定理 Poisson 积分定理

给定 $a,b \in \mathbb{R}$ 且 $a > 0$
则成立

$$ \bbox[5pt]{ \begin{aligned} \int_{0}^{\infty}{e^{-ax^2}\cos{bx}}{dx} & = \frac{1}{2}e^{-\frac{b^2}{4a}}\sqrt{\frac{\pi}{a}} \\ \int_{0}^{\infty}{e^{-ax^2}\sin{bx}}{dx} & = \frac{b}{4a}e^{-\frac{b^2}{4a}}\sqrt{\frac{\pi}{a}} \end{aligned} } $$

以及

$$ \bbox[5pt]{ \int_{0}^{\infty}{e^{-ax^2-\frac{b}{x^2}}}{dx} = \frac{1}{2}e^{-2\sqrt{ab}}\sqrt{\frac{\pi}{a}} } $$

证明