定理 Vandermonde 行列式定理

成立

$$ \bbox[5pt]{ \det{ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & x_3^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \\ \end{pmatrix} } = \prod_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n}{(x_i-x_j)} } $$

证明