定理 Young 不等式

给定 $p , q , r \geqslant 1$ 满足 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 + \frac{1}{r}$
则 $\forall f \in \mathtip{L^p(\mathbb{R}^n)}{\mathbb{R}^n 上的全体 p 次可积函数}$ 和 $\forall g \in \mathtip{L^q(\mathbb{R}^n)}{\mathbb{R}^n 上的全体 q 次可积函数}$
成立

$$ \bbox[5pt]{ \mathtip{\lVert{{f}\ast{g}}\rVert_r}{L^r(\mathbb{R}^n) 上的范数} \leqslant \mathtip{\lVert{f}\rVert_p}{L^p(\mathbb{R}^n) 上的范数}\mathtip{\lVert{g}\rVert_q}{L^q(\mathbb{R}^n) 上的范数} } $$

证明

(1) $p,q,r \in (1,+\infty)$
(1.1) 估计 $|{{f}\ast{g}}(x)|$

$$ \bbox[5pt]{ \begin{aligned} & |{{f}\ast{g}}(x)| \\ \mathtip{\color{skyblue}{=}}{定义: 卷积} & \left|\int_{\mathbb{R}^n}{f(x-y)g(y)}{dx}\right| \\ \mathtip{\color{skyblue}{\leqslant}}{定理*} & \int_{\mathbb{R}^n}{|f(x-y)||g(y)|}{dx} \\ = & \int_{\mathbb{R}^n}{|f(x-y)|^{1-\frac{p}{r}+\frac{p}{r}}|g(y)|^{1-\frac{q}{r}+\frac{q}{r}}}{dx} \\ = & \int_{\mathbb{R}^n}{|f(x-y)|^{\frac{p}{r}}|g(y)|^{\frac{q}{r}}|f(x-y)|^{1-\frac{p}{r}}|g(y)|^{1-\frac{q}{r}}}{dx} \\ = & \int_{\mathbb{R}^n}{(|f(x-y)|^p|g(y)|^q)^{\frac{1}{r}} \cdot |f(x-y)|^{\frac{r-p}{r}} \cdot |g(y)|^{\frac{r-q}{r}}}{dx} \\ \mathtip{\color{skyblue}{\leqslant}}{定理: Hölder 不等式} & \mathtip{\lVert{(|f(x-\cdot)|^p|g(\cdot)|^q)^{\frac{1}{r}}}\rVert_r}{L^r(\mathbb{R}^n) 上的范数} \cdot \mathtip{\lVert{|f(x-\cdot)|^{\frac{r-p}{r}}}\rVert_\frac{pr}{r-p}}{L^{\frac{pr}{r-p}}(\mathbb{R}^n) 上的范数} \cdot \mathtip{\lVert{|g(\cdot)|^{\frac{r-q}{r}}}\rVert_\frac{qr}{r-q}}{L^{\frac{qr}{r-q}}(\mathbb{R}^n) 上的范数} \end{aligned} } $$

(1.2) 分别计算

$$ \bbox[5pt]{ \begin{aligned} & \mathtip{\lVert{(|f(x-\cdot)|^p|g(\cdot)|^q)^{\frac{1}{r}}}\rVert_r}{L^r(\mathbb{R}^n) 上的范数} \\ \mathtip{\color{skyblue}{=}}{定义: L^r 上的范数} & \left(\int_{\mathbb{R}^n}{\left((|f(x-y)|^p|g(y)|^q)^{\frac{1}{r}}\right)^r}{dy}\right)^{\frac{1}{r}} \\ = & \left(\int_{\mathbb{R}^n}{|f(x-y)|^p|g(y)|^q}{dy}\right)^{\frac{1}{r}} \end{aligned} } $$ $$ \bbox[5pt]{ \begin{aligned} & \mathtip{\lVert{|f(x-\cdot)|^{\frac{r-p}{r}}}\rVert_\frac{pr}{r-p}}{L^{\frac{pr}{r-p}}(\mathbb{R}^n) 上的范数} \\ \mathtip{\color{skyblue}{=}}{定义: L^{\frac{pr}{r-p}}(\mathbb{R}^n) 上的范数} & \left(\int_{\mathbb{R}^n}{\left(|f(x-y)|^{\frac{r-p}{r}}\right)^{\frac{pr}{r-p}}}{dy}\right)^{\frac{r-p}{pr}} \\ = & \left(\int_{\mathbb{R}^n}{|f(x-y)|^p}{dy}\right)^{\frac{r-p}{pr}} \\ = & \left(\left(\int_{\mathbb{R}^n}{|f(x-y)|^p}{dy}\right)^{\frac{1}{p}}\right)^{\frac{r-p}{r}} \\ \mathtip{\color{skyblue}{=}}{定义: L^p(\mathbb{R}^n) 上的范数} & \mathtip{\lVert{f(x-\cdot)}\rVert_p}{L^p(\mathbb{R}^n) 上的范数}^{\frac{r-p}{r}} \\ \mathtip{\color{skyblue}{=}}{定理*} & \mathtip{\lVert{f}\rVert_p}{L^p(\mathbb{R}^n) 上的范数}^{\frac{r-p}{r}} \\ \end{aligned} } $$ $$ \bbox[5pt]{ \begin{aligned} & \mathtip{\lVert{|g(\cdot)|^{\frac{r-q}{r}}}\rVert_\frac{qr}{r-q}}{L^{\frac{qr}{r-q}}(\mathbb{R}^n) 上的范数} \\ \mathtip{\color{skyblue}{=}}{定义: L^{\frac{qr}{r-q}}(\mathbb{R}^n) 上的范数} & \left(\int_{\mathbb{R}^n}{\left(|g(y)|^{\frac{r-q}{r}}\right)^{\frac{qr}{r-q}}}{dy}\right)^{\frac{r-q}{qr}} \\ = & \left(\int_{\mathbb{R}^n}{|g(y)|^q}{dy}\right)^{\frac{r-q}{qr}} \\ = & \left(\left(\int_{\mathbb{R}^n}{|g(y)|^q}{dy}\right)^{\frac{1}{q}}\right)^{\frac{r-q}{r}} \\ \mathtip{\color{skyblue}{=}}{定义: L^q(\mathbb{R}^n) 上的范数} & \mathtip{\lVert{g}\rVert_q}{L^q(\mathbb{R}^n) 上的范数}^{\frac{r-q}{r}} \\ \end{aligned} } $$

(1.3) 估计 $\mathtip{\lVert{{f}\ast{g}}\rVert_r}{L^r(\mathbb{R}^n) 上的范数}^r$

$$ \bbox[5pt]{ \begin{aligned} & \mathtip{\lVert{{f}\ast{g}}\rVert_r}{L^r(\mathbb{R}^n) 上的范数}^r \\ \mathtip{\color{skyblue}{=}}{定义: 卷积} & \int_{\mathbb{R}^n}{|{{f}\ast{g}}(x)|^r}{dx} \\ \mathtip{\color{skyblue}{\leqslant}}{步骤: (2)} & \int_{\mathbb{R}^n}{\left(\left(\int_{\mathbb{R}^n}{|f(x-y)|^p|g(y)|^q}{dy}\right)^{\frac{1}{r}} \cdot \mathtip{\lVert{f}\rVert_p}{L^p(\mathbb{R}^n) 上的范数}^{\frac{r-p}{r}} \cdot \mathtip{\lVert{g}\rVert_q}{L^q(\mathbb{R}^n) 上的范数}^{\frac{r-q}{r}}\right)^r}{dx} \\ = & \int_{\mathbb{R}^n}{\left(\int_{\mathbb{R}^n}{|f(x-y)|^p|g(y)|^q}{dy}\right) \cdot \mathtip{\lVert{f}\rVert_p}{L^p(\mathbb{R}^n) 上的范数}^{r-p} \cdot \mathtip{\lVert{g}\rVert_q}{L^q(\mathbb{R}^n) 上的范数}^{r-q}}{dx} \\ = & \mathtip{\lVert{f}\rVert_p}{L^p(\mathbb{R}^n) 上的范数}^{r-p}\mathtip{\lVert{g}\rVert_q}{L^q(\mathbb{R}^n) 上的范数}^{r-q}\int_{\mathbb{R}^n}{\left(\int_{\mathbb{R}^n}{|f(x-y)|^p|g(y)|^q}{dy}\right)}{dx} \\ \mathtip{\color{skyblue}{=}}{定理: Fubini定理} & \mathtip{\lVert{f}\rVert_p}{L^p(\mathbb{R}^n) 上的范数}^{r-p}\mathtip{\lVert{g}\rVert_q}{L^q(\mathbb{R}^n) 上的范数}^{r-q}\int_{\mathbb{R}^n}{|g(y)|^q\left(\int_{\mathbb{R}^n}{|f(x-y)|^p}{dx}\right)}{dy} \\ \mathtip{\color{skyblue}{=}}{定理*} & \mathtip{\lVert{f}\rVert_p}{L^p(\mathbb{R}^n) 上的范数}^{r-p}\mathtip{\lVert{g}\rVert_q}{L^q(\mathbb{R}^n) 上的范数}^{r-q}\int_{\mathbb{R}^n}{|f(x)|^p}{dx}\int_{\mathbb{R}^n}{|g(y)|^q}{dy} \\ \mathtip{\color{skyblue}{=}}{\substack{定义: L^p(\mathbb{R}^n) 上的范数 \\ 定义: L^q(\mathbb{R}^n) 上的范数}} & \mathtip{\lVert{f}\rVert_p}{L^p(\mathbb{R}^n) 上的范数}^{r-p}\mathtip{\lVert{g}\rVert_q}{L^q(\mathbb{R}^n) 上的范数}^{r-q}\mathtip{\lVert{f}\rVert_p}{L^p(\mathbb{R}^n) 上的范数}^p\mathtip{\lVert{g}\rVert_q}{L^q(\mathbb{R}^n) 上的范数}^q \\ = & \mathtip{\lVert{f}\rVert_p}{L^p(\mathbb{R}^n) 上的范数}^r\mathtip{\lVert{g}\rVert_q}{L^q(\mathbb{R}^n) 上的范数}^r \end{aligned} } $$

综上

$$ \bbox[5pt]{ \mathtip{\lVert{{f}\ast{g}}\rVert_r}{L^r(\mathbb{R}^n) 上的范数} \leqslant \mathtip{\lVert{f}\rVert_p}{L^p(\mathbb{R}^n) 上的范数}\mathtip{\lVert{g}\rVert_q}{L^q(\mathbb{R}^n) 上的范数} } $$