话题 有限维线性空间上二阶协变张量与矩阵的一一对应

引入

给定 $n$ 维线性空间 $\mathscr{X} = (S,\mathbb{F})$ 及其标准正交基 $e_1,\cdots,e_n$
定义二阶协变张量为 $\mathscr{X}$ 上的双线性函数 $f(\cdot,\cdot) : S \times S \to \mathbb{F}$
定义 $n$ 阶矩阵为如下形式

$$ \bbox[5pt]{ A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \cdots & a_{2,n} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \cdots & a_{3,n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & \cdots & a_{n,n} \\ \end{pmatrix} = (a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n} } $$

二阶协变张量与矩阵的一一对应

一个二阶协变张量对应一个矩阵

对二阶协变张量 $f(\cdot,\cdot) : S \times S \to \mathbb{F}$
定义矩阵

$$ \bbox[5pt]{ A_f \triangleq (f(e_i,e_j))_{1 \leqslant i,j \leqslant n} = \begin{pmatrix} f(e_1,e_1) & f(e_1,e_2) & f(e_1,e_3) & \cdots & f(e_1,e_n) \\ f(e_2,e_1) & f(e_2,e_2) & f(e_2,e_3) & \cdots & f(e_2,e_n) \\ f(e_3,e_1) & f(e_3,e_2) & f(e_3,e_3) & \cdots & f(e_3,e_n) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f(e_n,e_1) & f(e_n,e_2) & f(e_n,e_3) & \cdots & f(e_n,e_n) \\ \end{pmatrix} } $$

给定 $\displaystyle x = \sum_{k=1}^{n}{x_ke_k} \in S$ 与 $\displaystyle y = \sum_{k=1}^{n}{y_ke_k} \in S$ ，其中 $\forall k \in \mathbb{N}$ 且 $1 \leqslant k \leqslant n$ 成立 $x_k,y_k \in \mathbb{F}$
定义向量 $X \triangleq (x_1,\cdots,x_n)^T$ 与向量 $Y \triangleq (y_1,\cdots,y_n)^T$
有

$$ \bbox[5pt]{ \begin{aligned} X^TA_fY = & \sum_{j=1}^{n}{\left(\sum_{i=1}^{n}{x_if(e_i,e_j)}\right)y_j} \\ = & \sum_{j=1}^{n}{f\left(\sum_{i=1}^{n}{x_ie_i},e_j\right)y_j} \\ = & \sum_{j=1}^{n}{f(x,e_j)y_j} \\ = & f\left(x,\sum_{j=1}^{n}{y_je_j}\right) \\ = & f(x,y) \end{aligned} } $$

即有以下关系图成立

$$ \bbox[5pt]{ \begin{CD} f @. ( @. x @. , @. y @. ) @. = @. f(x,y) \\ @VVV @. @VVV @. @VVV @. @. @| \\ A_f @. ( @. X @. , @. Y @. ) @. \triangleq @. X^TA_fY \end{CD} } $$

一个矩阵对应一个二阶协变张量

对 $n$ 阶矩阵

$$ \bbox[5pt]{ A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \cdots & a_{2,n} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \cdots & a_{3,n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & \cdots & a_{n,n} \\ \end{pmatrix} = (a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n} } $$

给定向量 $X = (x_1,\cdots,x_n)^T$ 与向量 $Y = (y_1,\cdots,y_n)^T$ ，其中 $\forall k \in \mathbb{N}$ 且 $1 \leqslant k \leqslant n$ 成立 $x_k,y_k \in \mathbb{F}$
定义 $\displaystyle x \triangleq \sum_{k=1}^{n}{x_ke_k} \in S$ 与 $\displaystyle y \triangleq \sum_{k=1}^{n}{y_ke_k} \in S$
定义二阶协变张量为 $\displaystyle f_A(x,y) = \sum_{j=1}^{n}{\left(\sum_{i=1}^{n}{x_ia_{i,j}}\right)y_j}$
有

$$ \bbox[5pt]{ \begin{aligned} f_A(x,y) = & \sum_{j=1}^{n}{\left(\sum_{i=1}^{n}{x_ia_{i,j}}\right)y_j} \\ = & \begin{pmatrix} \displaystyle \sum_{i=1}^{n}{x_ia_{i,1}} & \cdots & \displaystyle \sum_{i=1}^{n}{x_ia_{i,n}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} \\ = & \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \cdots & a_{2,n} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \cdots & a_{3,n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & \cdots & a_{n,n} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} \\ = & X^TAY \end{aligned} } $$

即有以下关系图成立

$$ \bbox[5pt]{ \begin{CD} A @. ( @. X @. , @. Y @. ) @. \triangleq @. X^TAY \\ @VVV @. @VVV @. @VVV @. @. @| \\ f_A @. ( @. x @. , @. y @. ) @. = @. f_A(x,y) \end{CD} } $$

结论

综上所述，存在二阶协变张量与矩阵的一一对应
或者说有线性空间之间的同构（待详细证明）

$$ \bbox[5pt]{ (L_2(\mathscr{X}),\mathbb{F}) \cong M_{n \times n}(\mathbb{F}) } $$

特别地

$$ \bbox[5pt]{ (L_2(\mathbb{R}^n),\mathbb{R}) \cong M_{n \times n}(\mathbb{R}) } $$