话题 Logistic 映射

给定 $x_0 \in (0,1)$ ，序列 $\{x_n\}$ 满足迭代式

$$ \bbox[5pt]{ x_{k+1} = \mu x_k(1-x_k) } $$

(1) $0<\mu<3$ 时， $\{x_n\}$ 极限存在且等于

$$ \bbox[5pt]{ 1-\frac{1}{\mu} } $$

(2) $3<\mu<1+\sqrt{6}$ 时， $\{x_{2n}\} , \{x_{2n+1}\}$ 极限存在且对应以下两个值

$$ \bbox[5pt]{ \begin{aligned} \frac{1}{2}+\frac{1+\sqrt{(\mu-3)(\mu+1)}}{2\mu} \\ \frac{1}{2}+\frac{1-\sqrt{(\mu-3)(\mu+1)}}{2\mu} \end{aligned} } $$