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习题 An Introduction to Manifold - Loring W. Tu, Problem 8.4给定 $x,y$ 为 $\mathbb{R}^2$ 上的标准坐标给定开集 $U = \mathbb{R}^2 \backslash \{(x,0) \big| x \geqslant 0\}$ $U$ 上可唯一地定义极坐标 $$ \bbox[5pt]{ \begin{aligned

习题 An Introduction to Manifold - Loring W. Tu, Problem 8.1给定 $F : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ 为映射 $$ \bbox[5pt]{ (u,v,w) = F(x,y) = (x,y,xy) } $$ 给定点 $p = (x,y) \in \mathbb{R}^2$ ，计算 $\displaysty

实例 特殊函数Gamma 函数Euler 积分形式给定 $z \in \mathbb{C}$ 且 $\text{Re}(z) > 1$ $\Gamma$ 函数定义如下 $$ \bbox[5pt]{ \Gamma(z) = \int_{0}^{\infty}{e^{-t}t^{z-1}}{d} } $$ Legendre 椭圆积分函数第一类 Legendre 椭圆积分函数 $$ \bbox

实例 对偶空间对线性空间 $\mathscr{X} = (X,\mathbb{R})$ ，定义其对偶空间 $\mathscr{X}^*$ 为 $$ \bbox[5pt]{ \mathscr{X}^* \triangleq {\mathscr{L}(\mathscr{X},\mathbb{R})} } $$ 即线性空间 $\mathscr{X}$ 上的全体有界线性泛函构成的线性空间 线性空间对偶

实例 $\mathbb{R}^n$ 欧氏空间欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 定义如下 $$ \bbox[5pt]{ \mathbb{R}^n \triangleq \{x=(x_1,\cdots,x_n) \big| x_i\in\mathbb{R},1 \leqslant i \leqslant n\} } $$ 线性空间欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 可定义加法与 $\m

1. 唐多令·芦叶满汀洲 —— 刘过安远楼小集，侑觞歌板之姬黄其姓者，乞词于龙洲道人，为赋此《唐多令》。同柳阜之、刘去非、石民瞻、周嘉仲、陈孟参、孟容。时八月五日也。芦叶满汀洲，寒沙带浅流。二十年重过南楼。柳下系船犹未稳，能几日，又中秋。黄鹤断矶头，故人今在否？旧江山浑是新愁。欲买桂花同载酒，终不似，少年游。 2. 青玉案·元夕 —— 辛弃疾东风夜放花千树。更吹落，星如雨。宝马雕车香满路。凤箫声动

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话题 Logistic 映射给定 $x_0 \in (0,1)$ ，序列 $\{x_n\}$ 满足迭代式 $$ \bbox[5pt]{ x_{k+1} = \mu x_k(1-x_k) } $$ (1) $0

话题 素数通项公式用 $p_n$ 表示第 $n$ 个素数，则 $$ \bbox[5pt]{ p_n = 2+\sum_{i=2}^{2^n}{\left\lfloor\sqrt[n]{n}\left(1+\sum_{j=2}^{i}{\left\lfloor\cos^2{\left(\frac{(j-1)!+1}{j}\pi\right)}\right\rfloor}\right)^{-\fra